Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 20

Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 20

x,y et z trois nombres réels strictement positifs,
montrer que:
Solution

on a
      x+y    y+z    z+x


A= ▬▬▬ + ▬▬▬ + ▬▬▬


        z         x        y



A= x/z + y/z + y/x+ z/x + z/y + x/y
A= (x/y + y/x) + (x/z + z/x) + (y/z + z/y)
on sait que 

x²+y² ≥ 2xy (x,y >0
(x²+y²) / xy  ≥ 2
x/y + y/x ≥ 2

de même pour
x/z + z/x ≥ 2 &  y/z + z/y ≥ 2

d’ou
  x        y        z
▬▬▬ + ▬▬▬ + ▬▬▬  ≥ 6
y+z   z+x    x+y
on a
      x+y    y+z    z+x
A= ▬▬▬ + ▬▬▬ + ▬▬▬
        z         x        y
 
A= x/z + y/z + y/x+ z/x + z/y + x/y
A= (x/y + y/x) + (x/z + z/x) + (y/z + z/y)
on sait que 

x²+y² ≥ 2xy (x,y >0
(x²+y²) / xy  ≥ 2
x/y + y/x ≥ 2

de même pour
x/z + z/x ≥ 2 &  y/z + z/y ≥ 2

d’ou
  x        y        z
▬▬▬ + ▬▬▬ + ▬▬▬  ≥ 6
y+z   z+x    x+y
 
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
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